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ArCsinx 178

解: 令t=arcsinx,则x=sint,dx=cost dt ∫(arcsinx)²dx =∫ t²·cost dt =t²·sint-∫ 2t·sint dt =t²·sint+∫ 2t·d(cost) =t²·sint+2tcost-∫ 2cost dt =t²·sint+2tcost-2sint+C =x·arcsin²x+2arcsinx·√(1-x...

都换成反函数,再用复合函数求导法。 —————————————————————— y = arcsinx siny = x cosy * y' = 1 y' = 1/cosy = 1/√(1 - sin²y) = 1/√(1 - x²) —————————————————————— y = arccosx cosy = x - siny * y' = 1 y' = - 1/siny = - 1/√...

∫arcsinxdx =xarcsinx-∫xd(arcsinx) =xarcsinx-∫xdx/√(1-x²) =xarcsinx-(1/2)∫d(1-x²)/√(1-x²) =xarcsinx-(1/2)∫[(1-x²)^(-1/2)]d(1-x²) =xarcsinx+√(1-x²)+C

∫(0→1) arcsinx d(arcsinx) =(1/2)(arcsinx)² |(0→1) =(1/2)(arcsin1)² =(1/2)(π/2)² =π²/8

f(x)=(arcsinx)² f'(x)=2(arcsinx)/√(1-x²) f''(x)=2[√(1-x²)²+arcsinx·2x/2√(1-x²)]/√(1-x²)² =2[(1-x²)√(1-x²)+x·arcsinx]/[(1-x²)√(1-x²)] (1-x²)f''(x)-xf'(x) =2[(1-x²)...

解: 令arcsinx=u,则x=sinu ∫(arcsinx)²dx =∫u²d(sinu) =u²sinu-∫sinud(u²) =u²sinu-∫2usinudu =u²sinu+2∫ud(cosu) =u²sinu+2ucosu-2∫cosudu =u²sinu+2ucosu-2sinu +C =(arcsinx)²x+2√(1-x²...

将分子拆开。 原式 =∫x/√(1-x²)dx+∫arcsinx / √(1-x²)dx =-√(1-x²)+∫arcsinx d(arcsinx) =-√(1-x²)+1/2(arcsinx)²+C。

答: 即∫(arcsinx)²dx 换元,令arcsinx=t,则sint=x,dx=costdt,cost=√(1-sin²t)=√(1-x²) ∫(arcsinx)²dx =∫t²cost dt =t²sint+2tcost-2sint+C =x(arcsinx)²+2√(1-x²)*arcsinx-2x+C

写一写就有:最后一次分部积分后,得到积分部分是 ∫[√(1-x²)]d(arcsinx-arccosx) = ∫[√(1-x²)]{[1/√(1-x²)]-[-1/√(1-x²)]}dx = …… = 2x+C。

y=ln(arcsinx²) y'=(arcsinx²)'/arcsinx²=(x²)'/[arcsinx²√(1-x⁴)] =2x/[arcsinx²√(1-x⁴)]

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